Lo que hay entre dos sondajes
Un yacimiento se conoce por unos pocos sondajes, separados por decenas de metros. Todo lo demás —el modelo de bloques con que se planifica la mina— es una estimación. Aquí ves cómo se hace, cuánto se equivoca, y por qué se equivoca siempre hacia el mismo lado.
① Tres ideas antes de cualquier fórmula
Lo cercano se parece. Si sabes la altura de un cerro en dos puntos separados por 5 m, la del medio casi seguro está entre ambas. Si están a 5 km, no sabes nada. Con la ley pasa lo mismo, y el variograma es la medida de esa idea: cuánto se diferencian, en promedio, dos muestras según la distancia que las separa.
Estimar es promediar con pesos. La ley de un bloque se estima como un promedio de las muestras cercanas. La pregunta es qué peso darle a cada una. El kriging elige los pesos que hacen el error más chico posible usando el variograma —no solo la distancia— y además te dice cuánto error esperar.
Lo estimado es más suave que la realidad. Un promedio nunca es tan alto como el pico más alto ni tan bajo como el valle más hondo: el modelo de bloques aplana el yacimiento. Si le aplicas la ley de corte a ese modelo, te equivocas en las toneladas y en la ley, y te equivocas de forma predecible.
② Tus sondajes, tu variograma, tu modelo de bloques
Esta es una línea de 600 m que cruza un yacimiento de cobre. La ley real existe metro a metro, pero tú solo la conoces donde pasa un sondaje. Con esas muestras ajustas un variograma y estimas la ley de 60 bloques de 10 m. Como esto es una simulación, al final puedes hacer lo que en una mina nunca se puede: mirar la realidad y ver cuánto te equivocaste.
El yacimiento y los sondajes
Tu variograma
Los puntos salen de tus muestras: para cada distancia, la mitad del promedio de las diferencias al cuadrado. Tu trabajo es pasar una curva por ellos moviendo la pepita y el alcance. La meseta se fija sola en la varianza de tus muestras.
Tu modelo de bloques
③ Ahora sí: de dónde salen esos números
El variograma: pepita, meseta y alcance
Para cada distancia h se juntan todos los pares de muestras separados por h
y se calcula γ(h) = Σ [z(x) − z(x+h)]² / (2·N(h)), donde N(h) es el número de
pares. Con pocos pares el punto es poco confiable: por eso aquí se dibuja más chico.
La pepita (C₀) es lo que se diferencian dos muestras casi pegadas: error de
muestreo y de laboratorio, más la variación a una escala menor que la distancia entre sondajes. La
meseta (C₀ + C) es la varianza total. El alcance (a) es la
distancia desde la cual dos muestras ya no se parecen más que dos tomadas al azar.
El modelo esférico, el más usado en minería:
γ(h) = C₀ + C·[1,5·(h/a) − 0,5·(h/a)³] si h ≤ a, y C₀ + C si
h > a. El botón «Ajustar por mí» busca la pepita y el alcance que minimizan las diferencias
al cuadrado, pesadas por el número de pares. En la práctica el ajuste se hace a mano y con criterio
geológico: el automático es un punto de partida.
Ojo con la pepita: entre sondajes separados 40 m no se ve lo que pasa a menos de 40 m. En la práctica se mide con el variograma a lo largo del sondaje, con muestras cada 1 o 2 m, y se lleva al variograma entre sondajes. Prueba la brecha con sondajes cada 10 m y cada 40 m: con la malla abierta, ni tú ni el ajuste automático pueden adivinarla.
El kriging ordinario y su varianza
La ley estimada de un bloque V es Z*(V) = Σ λᵢ·z(xᵢ), con
Σ λᵢ = 1 para que la estimación no tenga sesgo. Los pesos salen de un sistema lineal, una
ecuación por muestra: Σⱼ λⱼ·C(xᵢ − xⱼ) + μ = C̄(xᵢ, V), donde C(h) = meseta −
γ(h) es la covarianza, C̄(xᵢ, V) su promedio entre la muestra y los puntos del
bloque, y μ es el multiplicador de Lagrange que impone la suma uno.
La varianza del error es σ²ₖ = C̄(V, V) − Σ λᵢ·C̄(xᵢ, V) − μ. Mírala bien: en ninguna parte
aparecen las leyes z(xᵢ). Solo la geometría y el variograma.
Aquí cada bloque se discretiza en 5 puntos, se usan todas las muestras de la línea y la pepita solo entra en la diagonal del sistema: entre una muestra y un bloque, la variación de escala chica se promedia y no aporta.
El inverso de la distancia usa pesos 1/d²: no sabe nada de la pepita ni del alcance,
así que trata igual un pórfido continuo que una brecha errática. Por eso, con un buen variograma, el
kriging casi siempre le gana; con uno malo, no.
El suavizamiento y la ley que no llega a la planta
Un promedio ponderado tiene menos varianza que lo que promedia: el modelo de bloques es más «plano» que el yacimiento. Si seleccionas bloques por su ley estimada, eliges sobre todo los que el error infló. Con un kriging bien hecho ese efecto se compensa en promedio y la ley que promete el modelo es la que llega a la planta; con un variograma mal ajustado (pepita cero en un yacimiento errático) o con el inverso de la distancia, el modelo promete más de lo que la planta recibe.
Es lo que observó Danie Krige en las minas de oro del Witwatersrand (Sudáfrica): los bloques que el muestreo marcaba como ricos rendían menos de lo esperado y los pobres, más. Su corrección (Krige, 1951) es la idea que Georges Matheron formalizó en los años 60 y bautizó krigeage en su honor.
Fuentes para tu memoria: Matheron (1963), «Principles of geostatistics», Economic Geology 58; Journel y Huijbregts (1978), Mining Geostatistics; Isaaks y Srivastava (1989), An Introduction to Applied Geostatistics; Rossi y Deutsch (2014), Mineral Resource Estimation.
Lo que este modelo NO ve (y a tu comisión le va a importar)
Las tres dimensiones y la dirección. Esto es una línea. Un yacimiento real es continuo en unas direcciones y no en otras (anisotropía): se calcula un variograma por dirección, siguiendo la geología.
Los dominios geológicos. Aquí todo es una sola roca. En una faena se estima por separado cada unidad —óxidos, sulfuros secundarios, primarios, cada litología—, porque mezclarlas en un variograma produce un modelo que no representa a ninguna.
Las leyes extremas y el soporte. En oro unas pocas muestras muy altas mandan el promedio: se acotan (capping) con criterio. Y las muestras se componen a un largo común antes de estimar.
La vecindad. Aquí cada bloque usa todas las muestras. En 3D se usa un elipsoide de búsqueda con un número mínimo y máximo de muestras, y esa decisión cambia el suavizamiento.
La incertidumbre completa. La varianza de kriging es un indicador, no la distribución de lo que puede pasar. Para eso se usa la simulación condicional, que reproduce la variabilidad real.
La clasificación de recursos. Medido, indicado e inferido no salen de un botón: los firma una Persona Competente. En Chile, según la Ley 20.235 y el Código CH 20235 de la Comisión Calificadora de Competencias en Recursos y Reservas Mineras; en otros países, el JORC o el NI 43-101.
Si tu tesis es de estimación de recursos, ahí están los capítulos que valen: el análisis exploratorio por dominio, los variogramas por dirección, la validación del modelo (contra los compósitos y contra la producción, la reconciliación) y la clasificación.