Por qué la misma roca da dos leyes distintas
Todo número de una mina —recursos, reservas, ley de cabeza, recuperación— sale de unos pocos gramos que alguien analizó en un laboratorio. Entre la roca y esos gramos hay un error que no comete nadie: lo pone la roca. Aquí ves de dónde sale, cuánto pesa y cómo se achica.
① Dos ideas antes de cualquier fórmula
La muestra no miente por el laboratorio: miente por los granos. Piensa en una bolsa de maní con pasas. Si sacas un puñado chico, a veces te tocan cinco pasas y a veces ninguna. El puñado no está mal tomado: así es la mezcla. Con el mineral pasa lo mismo: el metal está concentrado en unos pocos granos, y cuántos caen en tu muestra es cuestión de azar. A eso Pierre Gy lo llamó error fundamental.
Moler antes de dividir. El error crece con el cubo del tamaño de las partículas: moler a la mitad baja la varianza ocho veces. Por eso todo protocolo de laboratorio es la misma escalera: chancar, dividir, pulverizar, dividir, analizar. Lo que no se puede hacer es dividir mucho cuando las partículas todavía son grandes.
② ¿Cuántas pepitas de oro hay en tu muestra?
El oro es el caso extremo: va en granos sueltos, densos y escasos. Elige la ley, el tamaño de los granos y cuánto material analizas, y el programa saca 500 muestras al azar del mismo lote. Cada punto es lo que informaría el laboratorio.
③ Tu protocolo de preparación, con la fórmula de Gy
Ahora el camino completo desde la muestra de terreno hasta lo que entra al equipo. En cada etapa decides a qué tamaño moler y cuánto guardar al dividir. El gráfico es el nomograma de Gy: cada línea inclinada es un tamaño de partícula; dividir es bajar la masa sobre esa línea (el error sube), y moler es saltar hacia abajo a la línea de un tamaño menor (el error no sube).
④ Ahora sí: la fórmula
La fórmula de Gy y sus cuatro factores
La varianza relativa del error fundamental al sacar una muestra de masa mₛ de un lote de masa
M es σ² = C · d³ · (1/mₛ − 1/M), con d el tamaño bajo el que pasa el 95 %
del material, en centímetros, y las masas en gramos. Cuando el lote es mucho mayor que la muestra queda
σ² ≈ C · d³ / mₛ, y despejando, la masa mínima para una precisión dada es mₛ = C · d³ / σ².
La constante es C = f · g · l · m:
f, forma de las partículas: 0,5 en general y 0,2 para el oro, que va en láminas.
g, distribución de tamaños: 0,25 si d₉₅/d₅ > 4 (material chancado, lo normal); 0,5 entre 2 y 4; 0,75 bajo 2; 1 si todas
miden lo mismo. l, liberación: l = (L / d)^0,5, con L el tamaño de liberación del
mineral; vale 1 cuando ya se molió bajo L. Ese exponente 0,5 es el de la fórmula clásica y no es
universal: se calibra con ensayos de heterogeneidad. Con 0,5, el oro de este ejemplo daría ±70 % en la primera
división, cuando contando granos ese kilo trae unos 4.000 granos de 50 µm (±1,6 %); por eso aquí el oro usa 1,5,
un valor citado a menudo para oro desde el trabajo de François-Bongarçon. m, composición:
m = (1 − a)/a · [(1 − a)·r + a·t], con a la fracción del mineral valioso, r su
densidad y t la de la ganga.
Aquí: pórfido con calcopirita (34,6 % Cu, r = 4,2 g/cm³), ganga t = 2,7 g/cm³, L = 100 µm. Oro: r = 19,3 g/cm³,
L = 50 µm, f = 0,2. Con la ley de cada uno se calcula a. Los mismos factores reproducen el ejemplo de
galena de Wills y Finch (2016, cap. 3).
Por qué las pepitas siguen a Poisson
Si el oro está libre y en granos de un solo tamaño, cada grano pesa f · ρ · d³ y el número de granos
que caen en la muestra sigue una distribución de Poisson con media λ = mₛ · ley / masa de un grano.
El error relativo de una muestra es 1/√λ, y la probabilidad de no recibir ningún grano es
e^−λ. Es exactamente la fórmula de Gy con g = 1 y l = 1: la simulación del
punto ② no usa la fórmula, cuenta granos, y llega al mismo número.
Por eso, con pocos granos por muestra, la mayoría de las muestras sale baja y unas pocas salen altísimas: el promedio de muchas está bien, pero la muestra típica subestima. Es el mismo efecto pepita del variograma en geoestadística.
Fuentes para tu memoria
Gy (1979), Sampling of Particulate Materials: Theory and Practice (Elsevier). Pitard (1993), Pierre Gy's Sampling Theory and Sampling Practice, 2.ª ed. (CRC Press). Wills y Finch (2016), Wills' Mineral Processing Technology, 8.ª ed., cap. 3 (la fórmula y los factores tal como se usan aquí). François-Bongarçon y Gy (2002), sobre el factor de liberación y el error más común al aplicar la fórmula, en el Journal of the Southern African Institute of Mining and Metallurgy.
Lo que este modelo NO ve (y a tu comisión le va a importar)
Los otros errores. Aquí solo está el error fundamental. En la práctica pesan igual o más la segregación (las partículas densas se van al fondo del saco), el mal corte del divisor, la contaminación entre muestras en el chancador y el pulverizador, y la pérdida de finos o el oro que se pega en los equipos.
El factor de liberación. El exponente 0,5 de l es el de la fórmula clásica; para minerales
difíciles, y en especial el oro grueso, se calibra con ensayos de heterogeneidad (el enfoque de
François-Bongarçon), porque la fórmula clásica puede equivocarse por mucho.
El oro grueso. Cuando hay granos sobre unos 100 µm, el ensayo a fuego de 30 g deja de servir: se usa el ensayo a fuego con tamizado (screen fire assay) o técnicas sobre masas grandes.
El control de calidad. Un protocolo se demuestra con duplicados de terreno, de preparación y de pulpa, más blancos y estándares certificados. Es lo primero que revisa una Persona Competente antes de firmar recursos.
Si tu tesis toca muestreo, ahí está el capítulo: la caracterización del material (L, densidades, ley), el protocolo optimizado con el nomograma y la validación con duplicados.